Si vous avez compris cela, vous avez tout compris ! "Et pourtant il parait que les calculatrices en mode RPN sont si compliquées à utliser ... Et bien non, elles sont beaucoup plus simples, on n'a juste pas l'habitude ! Et la plupart préfèrent se compliquer les calculs avec des parenthèses plutôt que de se familiariser avec un autre mode tout simple ... Déconcertant, non ?

Trois principes

... fondamentaux !

Pour utiliser une calculatrice en mode RPN, sans se prendre la tête, il faut bien "assimiler" les trois principes suivants, les deux derniers découlant du premier :

1. Toute opération s'effectue sur des nombres déjà présents dans la calculatrice.
2. Il faut marquer la fin d'introduction d'un nombre avec la touche [ENTER].
3. Les nombres en attente sont placés sur une pile.
4. Et il faut comprendre le calcul qu'on veut réaliser (ceci n'est pas un principe, mais un prérequis !).

   Dans '2 3 +', il faut entrer 2, puis 3, c'est à dire qu'au clavier, on tape d'abord [2], puis on doit dire à la calculatrice que le nombre est fini, avant de taper [3], sinon, on aurait introduit 23. C'est le rôle de la touche [ENTER] : terminer l'entrée d'un nombre avant d'introduire le suivant. Notez que toute fonction termine implicitement une entrée, la touche [ENTER] n'est donc réellement nécessaire que lorsqu'on doit entrer plusieurs nombres d'affilée avant la première opération.

   La pile est une suite de registres (mémoires), utilisés pour stocker les nombres "en attente". La touche [ENTER] a pour effet de pousser un nombre sur la pile, ou de créer un nouvel élément dans la pile (selon les versions, j'y reviendrai plus tard). On parle de pile, car à l'instar d'une pile, on y dépose les éléments un à un, et on les reprend dans l'ordre inverse : sur une pile de livres, le premier que vous allez prendre, est le dernier que vous y avez déposé (à l'inverse d'une file, ou le premier arrivé est le premier servi, comme à la Poste). En anglais, on utilise également les acronymes LIFO (Last In, First Out : dernier ajouté, premier retiré) pour les piles, et FIFO (First In, First Out : premier arrivé, premier servi) pour les files.

   Toute opération prend ses opérandes (ou arguments) sur la pile (qui diminue donc d'un ou deux éléments) et y replace le résultat. Au final, la pile a la même taille pour une opération à un argument comme l'inverse (1/x), car l'inverse prend un élément (x), calcule l'inverse, et y replace le résultat (1/x). Pour l'addition, la pile diminue d'un élément, car on retire les deux termes de l'addition, pour ne replacer qu'un seul résultat. Et pour une conversion de coordonnées polaires en rectangulaires, elle prend deux éléments (les arguments), et y replace deux autres (les nouvelles coordonées). Enfantin, non ?

   Puisque, grâce à la pile, on peut laisser des nombres en attente, et ainsi effectuer d'autres opérations intermédiaires, on n'a plus besoin de parenthèses : vous laissez simplement le résultat ou nombre précédent sur la pile pour faire le calcul à l'intérieur de la parenthèse, et quand vous avez ce résulat, vous pouvez continuer vos calculs ... D'une certaine manière, la pile remplace les parenthèses (et puisqu'il n'y a plus de parenthèses, vous ne risquez pas d'oublier de les ouvrir, ou de les fermer !).

   Pour les calculs plus complexes, et notamment sur les anciens modèles ne disposant que de 4 éléments dans la pile (j'y reviendrai), il est souvent plus facile (et plus naturel, "à la main" ou "mentalement", c'est ce que vous feriez) d'"attaquer" le calcul par le milieu, la parenthèse la plus intérieure, ...

      Essayez sans craintes, je l'utilise tous les jours (et deux mots d'explication ci-dessous)

Pas naturel ?

Que du contraire !

Lorsque vous faite un simple calcul mental, disons 6 x 8, vous lisez effectivement '6', puis 'x' qui vous dit qu'on va devoir faire une multiplication, puis '8', le deuxième facteur de la multiplication. Mais pour effectuer le calcul, vous avez en tête les deux nombres (6 et 8), que vous associez à 48 pour une multiplication (directement, si vous connaissez vos tables, ou après calcul ...). Si on vous donne 6 et 8, 48 vient tout seul, mais votre cerveau ne sait que faire de '6 x', il ne laisse pas d'opération en suspend, il ne peut appliquer une opération (faire un calcul) que s'il a d'abord les deux nombres !

Le calcul en mode RPN, c'est exactement celà, pour calculer '6 x 8' vous faites : '6 [ENTER] 8 *'

Pas convaincu ? Un autre exemple : comment faites vous une addition écrite ?

Vous écrivez les deux nombres, puis vous faites le calcul, non ?

Toujours pas convaincu ? Un troisième (et dernier) exemple : '2 * ( 3 + 4)'. Comment faites-vous ? Sans réfléchir, vous prenez 3 et 4 que vous additionez, ensuite, le résultat, vous le multipliez par 2. C'est exactement ce que vous avez à faire avec une calculatrice en mode RPN ! Pratiquement mot à mot :

• vous entrez 3 : [3] [ENTER]
• puis 4 : [4]
• que vous additionnez : [+]
• vous prenez ensuite 2 : [2]
• par lequel vous multipliez le résultat précédent : [*]

Ou pour vous embrouiller : [2] [ENTER] [3] [ENTER] [4] [+] [*] !   Ici, tous les nombres sont introduits dans l'ordre, mais laissés en suspend dans la pile, le temps qu'on en aie besoin : on n'utilise le 2 pour la multiplication qu'après avoir additionné 3 et 4. Et au passage, les parenthèses ont disparu, car superflues ... !

Si le coeur vous en dit, et avant de lire la suite (et d'attraper une indigestion), je vous suggère de déjà essayer quelques opérations. Pas de panique, votre ordinateur ne va pas exploser ! Faites donc un petit tour par la pratique ...

Les modèles HP

Les HP "classiques"

Les HP "graphiques"

Pour les différencier au premier coup d'oeil, cherchez la touche [x<>y] près de [ENTER], sur la face d'une touche, c'est à dire accessible directement (pas shiftée), car utilisée très fréquemment. Si elle est présente, c'est une "classique", sinon vous trouverez son équivalent [SWAP] sur les "graphiques", en accès shifté pour les premiers modèles, fonction primaire (non indiquée !) de la touche [>] (flèche droite) à partir de la HP-49G.

Notez qu' Hewlett-Packard fabrique également des calculatrices "conventionnelles", à entrée algébrique, mais ce n'est pas le propos ici. Et pour être complet, sachez que les modèles graphiques et les récentes "classiques" (HP-33S et HP-35S) peuvent également travailler en mode algébrique, d'où les parenthèses également disponibles sur leur clavier. (Pour info, sur les HP-28 .. 48, les expressions algébriques sont placées entre apostrophes, ce sont des objets d'un type particulier, également déposés et manipulés sur la pile, et qu'on évalue en pressant la touche [EVAL].)

Pour plus de détails, consultez par exemple les liens sur la page HP-41C, ou ces deux excellents sites (des références) :

• The Museum of HP Calculators, qui traite plus des "classiques"
• hpcalc.org pour les "graphiques"

Et si vous voulez mon avis très personnel sur les divers modèles que j'ai testés (les HP-25, 41C, 42S, 32SII, 11C, 28S, 48G, 49G et 49G+), voici une Revue de quelques HPs.

La pile de plus près

Remarquez tout d'abord que la pile est alimentée "par le bas", c'est ainsi qu'elle est représentée sur les calculatrices HP, car on "pousse" les nombres dans la pile, et sur la touche [ENTER], se trouve une petite flèche vers le haut à droite de 'ENTER' : [ENTER ^] (du moins sur les premiers modèles).

Revenons à notre exemple. En supposant qu'elle soit vide au départ, voici les opérations effectuées (en haut), et l'état de la pile qui en résulte, sur une calculatrice graphique au centre, et sur les modèles classiques en bas.

Première méthode

  +---------+
4:|         |
  +---------+
3:|         |
  +---------+ 
2:|         |
  +---------+ 
1:|         |
  +---------+
  |         |

  +---------+
4:|         |
  +---------+
3:|         |
  +---------+ 
2:|         |
  +---------+ 
1:|         |
  +---------+
  | 3       |

  +---------+
4:|         |
  +---------+
3:|         |
  +---------+ 
2:|         |
  +---------+ 
1:|    3.00 |
  +---------+
  |         |

  +---------+
4:|         |
  +---------+
3:|         |
  +---------+ 
2:|         |
  +---------+ 
1:|    3.00 |
  +---------+
  | 4       |

  +---------+
4:|         |
  +---------+
3:|         |
  +---------+ 
2:|         |
  +---------+ 
1:|    7.00 |
  +---------+
  |         |

  +---------+
4:|         |
  +---------+
3:|         |
  +---------+ 
2:|         |
  +---------+ 
1:|    7.00 |
  +---------+
  | 2       |

  +---------+
4:|         |
  +---------+
3:|         |
  +---------+ 
2:|         |
  +---------+ 
1:|   14.00 |
  +---------+
  |         |

  +---------+
t |    0.00 |
  +---------+
z |    0.00 |
  +---------+ 
y |    0.00 |
  +---------+ 
x |    0.00 |
  +---------+

  +---------+
t |    0.00 |
  +---------+
z |    0.00 |
  +---------+ 
y |    0.00 |
  +---------+ 
x |       3 |
  +---------+

  +---------+
t |    0.00 |
  +---------+
z |    0.00 |
  +---------+ 
y |    3.00 |
  +---------+ 
x |    3.00 |
  +---------+

  +---------+
t |    0.00 |
  +---------+
z |    0.00 |
  +---------+ 
y |    3.00 |
  +---------+ 
x |       4 |
  +---------+

  +---------+
t |    0.00 |
  +---------+
z |    0.00 |
  +---------+ 
y |    0.00 |
  +---------+ 
x |    7.00 |
  +---------+

  +---------+
t |    0.00 |
  +---------+
z |    0.00 |
  +---------+ 
y |    7.00 |
  +---------+ 
x |       2 |
  +---------+

  +---------+
t |    0.00 |
  +---------+
z |    0.00 |
  +---------+ 
y |    0.00 |
  +---------+ 
x |   14.00 |
  +---------+

Modèles "graphiques"

Ainsi, lorsqu'on efface la pile ([CLEAR]), elle est réllement vide, pas de registres alloués, d'où les cases "blanches" dans le tableau ci-dessus.

Reprenons le calcul pas à pas :

• [3]   En pressant sur la touche [3], on débute l'introduction d'un nombre, et entre en mode entrée/édition, sur une nouvelle ligne. Les chiffres suivants éventuels vont s'ajouter, et on peut faire des corrections avec les flèches.
• [ENTER]   La touche [ENTER] termine l'entrée, le nombre est placé au niveau un de la pile, la ligne d'édition "disparait"
• [4]   En pressant [4], on entre à nouveau en mode édition, sur une nouvelle ligne (les lignes de la piles sont déplacées vers le haut sur l'écran).
• [+]   En appuyant sur [+], on termine implicitement l'entrée ('+' n'est pas un chiffre, mais un opérateur). La calculatrice place donc le nombre 4 sur la pile, puis effectue l'addition en prenant les nombres au niveau 1 et 2 (la pile est donc vide un instant), et re-crée un élément pour y placer le résultat : 7.
• [2]   Introduction de 2, sur la ligne d'édition, '7' reste sur la pile au niveau 1.
• [*]   Termine '2', le pousse sur la pile, prend 7 (niveau 2) et 2 (niveau 1) pour la multiplication, et place le résulat au niveau 1 de la pile.

Seconde remarque, s'il n'y a pas assez d'éléments sur la pile pour l'opération demandée (c-à-d pas assez d'arguments pour la fonction), la calculatrice n'en prend pas un par défaut, mais génère une erreur (appuyer sur la touche [ON] ou [CANCEL] / [ATTN] pour annuler le message).

Modèles "classiques"

De ce fait, les HP classiques se comportent légèrement différemment, sans que cela ne change réellement son utilisation habituelle.  Je reviendrai sur ces nuances plus tard.

Puisque ces machines affichent exclusivement le premier registre X de la pile (sauf pour les derniers modèles, avec un écran de deux lignes, qui présentent également le deuxième registre Y), les entrées de nombre se font directement dans le registre X. Lorqu'on presse la touche [ENTER], la calculatrice copie chaque registre de la pile dans celui supérieur, et le contenu du dernier (T) est perdu !   La machine affiche la dernière valeur entrée (qui se trouve maintenant dans Y), et donc 'X' est initialisé avec cette dernière, plutôt que d'être remis à zéro.

Après [ENTER], et uniquement après [ENTER] ou [CLx] (qui efface, ou initialise à zéro le registre X), l'entrée d'un nouveau nombre remplace la valeur de X, au lieu de décaler tous les registres vers le haut.

C'est ce qu'illustre le bas du tableau, reprenant le calcul de ' 2*(3+4) ' pas à pas :

• [3]   En pressant sur la touche [3], on débute l'introduction d'un nombre dans le registre X de la pile, et entre en mode entrée/édition. Les chiffres suivants éventuels vont s'ajouter, et on peut éventuellement revenir en arrière (effacer) avec la flèche gauche ([<-]).
• [ENTER]   La touche [ENTER] termine ou valide l'entrée, tous les nombres "montent d'un cran" (sont copiés dans le registre supérieur : Z dans T, Y dans Z et X dans Y, l'ancienne valeur de T étant perdue). X est initialisé avec la dernière valeur (conserve donc sa valeur, mais n'est pas validé : peut être écrasé si on introduit à nouveau un nombre).
• [4]   En pressant [4], on écrase la valeur initiale (3), sans mouvement de la pile.
• [+]   En appuyant sur [+], on valide implicitement l'entrée ('+' n'est pas un chiffre, mais un opérateur). La calculatrice effectue l'addition en prenant les nombres dans les registres X et Y, décale les élément de la pile vers le bas (copie Z dans Y, T dans Z, et T conserve sa valeur, ce nombre est donc dupliqué), et place le résultat (7) dans X. X est ici validé.
• [2]   Introduction de 2 : X étant précédemment validé (et on initialisé), les éléments de la pile sont à nouveau poussés vers le haut pour faire place au nouveau nombre introduit.
• [*]   Effectue la mutliplication sur base de X et Y, décale la pile vers le bas, et met le résultat (14) dans X.

Seconde méthode

  +---------+
4:|         |
  +---------+
3:|         |
  +---------+ 
2:|         |
  +---------+ 
1:|         |
  +---------+
  |         |

  +---------+
4:|         |
  +---------+
3:|         |
  +---------+ 
2:|         |
  +---------+ 
1:|         |
  +---------+
  | 2       |

  +---------+
4:|         |
  +---------+
3:|         |
  +---------+ 
2:|         |
  +---------+ 
1:|    2.00 |
  +---------+
  |         |

  +---------+
4:|         |
  +---------+
3:|         |
  +---------+ 
2:|    2.00 |
  +---------+ 
1:|    3.00 |
  +---------+
  |         |

  +---------+
4:|         |
  +---------+
3:|         |
  +---------+ 
2:|    2.00 |
  +---------+ 
1:|    3.00 |
  +---------+
  | 4       |

  +---------+
4:|         |
  +---------+
3:|         |
  +---------+ 
2:|    2.00 |
  +---------+ 
1:|    7.00 |
  +---------+
  |         |

  +---------+
4:|         |
  +---------+
3:|         |
  +---------+ 
2:|         |
  +---------+ 
1:|   14.00 |
  +---------+
  |         |

  +---------+
t |    0.00 |
  +---------+
z |    0.00 |
  +---------+ 
y |    0.00 |
  +---------+ 
x |    0.00 |
  +---------+

  +---------+
t |    0.00 |
  +---------+
z |    0.00 |
  +---------+ 
y |    0.00 |
  +---------+ 
x |       2 |
  +---------+

  +---------+
t |    0.00 |
  +---------+
z |    0.00 |
  +---------+ 
y |    2.00 |
  +---------+ 
x |    2.00 |
  +---------+

  +---------+
t |    0.00 |
  +---------+
z |    2.00 |
  +---------+ 
y |    3.00 |
  +---------+ 
x |    3.00 |
  +---------+

  +---------+
t |    0.00 |
  +---------+
z |    2.00 |
  +---------+ 
y |    3.00 |
  +---------+ 
x |       4 |
  +---------+

  +---------+
t |    0.00 |
  +---------+
z |    0.00 |
  +---------+ 
y |    2.00 |
  +---------+ 
x |    7.00 |
  +---------+

  +---------+
t |    0.00 |
  +---------+
z |    0.00 |
  +---------+ 
y |    0.00 |
  +---------+ 
x |   14.00 |
  +---------+

Sur base des explications dans les sections précédentes, vous devriez comprendre les mouvements dans ce second cas. Notez que cette méthode nécessite la pression d'une touche supplémentaire (un [ENTER] en plus).

Je vous en laisse donc l'interprétation en guise d'exercice ...

Les subtilités

Les modèles classiques, de part la gestion quelque peu moins orthodoxe de la pile, permettent quelques subtilités, impossibles sur les modèles à gestion dynamique de la piles (les graphiques).

[ENTER] duplique X

Par example, pour calculer le double de 123, il suffit de taper 123 [ENTER] [+], ou [*] pour obtenir le carré.

T se regénère

Par exemple, pour calculer les puissances successives de 2, on "remplit" d'abord la pile de '2', puis on fait autant de multiplications que souhaitées : 2 [ENTER] [ENTER] [ENTER] [*] [*] [*] [*] [*] ... . Il y aura toujours un '2' dans Y pour multiplier le résultat en X !

Sur une classique, on n'est donc jamais en panne d'arguments ! Alors que sur une graphique, un déficit d'arguments provoque un message d'erreur.

Jongler avec la pile

Une des fonctions les plus utilisées est [X<>Y], qui comme vous l'aurez deviné, échange le contenu des registres X et Y. C'est la façon la plus facile de voir ou vérifier ce qu'il y a dans Y avant une opération (après quelques calculs intermédiaires par exemple). Et pressez une seconde fois sur [X<>Y] pour revenir à l'ordre initial. L'équivalent sur les "graphiques" est la fonction [SWAP].

Les "classiques" utilisent un registre complémentaire pour conserver la valeur de X avant toute opération, nommé 'LAST x' ou 'L', et la touche [LAST x] permet de rappeler cette valeur dans X. Très pratique ! Mais malheureusement, il n'y a pas de [LAST y] ... sauf sur la mienne ! Les "graphiques" ont une fonction équivalente : [ARG] ou LAST qui rappelle le(s) argument(s).

Les fonctions [R Dn] ou [Rv] (R Down) et [R^] (R Up) décalent tous les registres vers le bas ou vers le haut, de manière "circulaire", comme si X était le suivant de T : donc [R Up] déplace aussi T vers X, et [R Down] déplace X vers T. La pression de [R Down] 4 fois successivement permet donc de faire "défiler" la pile à l'écran, et de revenir au point de départ.

Un peu de pratique

Ou pourquoi pas, essayez directement ma calculatrice :

Pour débuter (et même pour la suite), elle a l'avantage de montrer à la fois les éléments de la pile (St 0 ...), le résultat (qui n'est autre que le niveau 0 de la pile), les mémoires et les deux registres 'Last x' et 'Last y'; ainsi que toutes les opérations effectuées, avec résultats intermédiaires (l'historique, dans la partie droite de l'écran). Vous suivez ainsi toutes vos opérations, idéal pour vérifier vos calculs (on peut même corriger les valeurs et "re-tourner" les calculs) !

Pour information, la gestion de la pile s'apparente plutôt aux calcualtrices "graphiques", tout en gardant certaines caractéristiques des modèles "classiques" (la pile est circulaire et si deux arguments sont nécessaires alors que la pile n'en compte qu'un seul, celui-ci sera utilisé deux fois).

L'épreuve du feu

13 - 7 + 29 - 34	2 + 3 x 5 - 16	3 x (11 - 6) / 15
6 + 11     35 - 18

Le verdict fut sans appel : avec sa calculatrice, elle n'a pas pu arriver au bout, les derniers calculs étant trop complexes, mais elle y est arrivée avec la logique RPN !

Faites le test

(39 + 48) - (123 - 37)	(7 + 18) : 5 2	124 - 49    27 + 48
	(45 + 36)½ / 9

Tous les calculs ci-dessus peuvent s'effectuer "de gauche à droite", ils ne nécessitent pas plus de 4 éléments dans la pile.

Par contre, les suivants nécessitent de les attaquer par le milieu.
Ainsi, dans la première, si on fait le calcul de gauche à droite avec une calculatrice HP classique, on n'a plus de place pour introduire le dernier 7 sous la fraction de la racine carrée. En effet, on aura déjà le premier terme dans T, le premier facteur en Z, et sous la racine carrée, le numérateur en Y et le premier terme de la soustraction du dénominateur en X : si on introduit 7, on perd le premier terme (à gauche du premier '+'). Ici, on évaluera le calcul de droite à gauche, en commençant par le quotien sous la racine carrée.
Pour le deuxième, il faut d'abord calculer le dénominateur, puis le numérateur, et ensuite inverser les deux résultats intermédiaires dans la pile ([x<>y]) avant de les diviser.
Le troisième est encore un peu plus difficile, je vous laisse trouver ... Un indice tout de même, vous devrez utiliser la fonction x².

Compliqué ? Pas tant qu'il y parait, car si vous deviez le faire "à la main" ou "mentalement", par où commenceriez-vous ? Si vous avez un doute, utilisez la règle d'or suivante : débuter le calcul par la partie la plus compliquée, le niveau de parenthèse le plus intérieur.

Dans certains cas, le recours à une mémoire pour enregistrer les résultats intérmédiaires sera toute fois indispensable, comme dans le dernier exemple ci-dessous. Est-ce un problème ? Non, car ces cas sont relativement rares, et au final, avec une calculatrice conventionnelle, las de vous mêler les pinceaux avec les parenthèses, vous auriez de toute façon recouru aux mémoires depuis bien longtemps ! (Cette limitation disparait sur les modèles "graphiques".)

Et pas besoin de vous donner la réponse à tous ces calculs, vous saurez très vite si votre réponse est correcte !    ;-)

Alors, convaincu ?